Математика

  1. N мірний рядок – це упорядкований набір n елементів деякої множини. Матриця розмірності m*n називається таблиця елементів , складена з m рядків та n стовпців. Матриця називається ступінчастою, якщо в ній під кожним першим ненульовим елементом рядка стоять тільки нулі.
  2. Елементарні перетворення рядків матриці : переставлення двох рядків або стовпців ; множення рядка або стовпця матриці на число ;  додавання до якогось рядка (стовпця) матриці іншого рядка ( стовпця ), помноженого на деяке число.
  3. Система рівнянь — набір двох і більше рівнянь, заданих функціями багатьох змінних, які повинні задовольнятися одночасно. Розв’язкою системи рівнянь  називають такий набір невідомих змінних x1=a1, x2=a2,…, xn=an, перетворюючі всі рівняння системи в тотожність . СЛАР називається сумісною, якщо вона має хоча б один розв’язок. Якщо система не має розв’язки, вона називається несумісною. Якщо СЛАР має більше одного розв’язку, вона називається невизначеною, а якщо має єдиний розв’язок, то визначеною. Дві системи лінійних алгебраїчних рівнянь називаються еквівалентними (рівносильними), якщо кожний розв’язок першої системи є розв’язком другої і навпаки.
  4. Система лінійних рівнянь називається однорідною , якщо праві частини усіх рівнянь системи дорівнюють нулю. Однорідна система завжди сумісна , тому що має ненульове рішення . Окрім нульового рішення , однорідна система може мати і ненульові рішення. !Якщо число рівнянь однорідної системи менше числа невідомих, то система має нетривіальні розв’язки!
  5. Перестановкою n натуральних чисел 1, 2, … ,n називається довільний впорядкований набір цих чисел. Перестановка називається парною, якщо в ній число інверсій парне, непарною – у противному випадку (див. попередній приклад). Підстановкою n -го порядку (степеня) називають взаємно однозначне відображення множини {1, 2,…, n} у себе. Підстановка – це дві перестановки, записані одна під іншою у вигляді матриці. Підстановка називається парною (непарною) якщо сума інверсій в обох рядках є числом парним (непарним).
  6. Визначником (детермінантом) квадратної матриці A порядку n називається число det A (або A , або D ), що дорівнює сумі n! доданків, кожний з яких є добутком n елементів цієї матриці, взятих по одному з кожного рядка та кожного стовпця зі знаком «плюс», якщо підстановка, складена з індексів елементів цього добутку, парна та зі знаком «мінус», якщо непарна.
  7. Мінором елемента aij визначника D n -го порядку (Mij) називається визначник (n -1)-го порядку, отриманий з D шляхом викреслювання i -го рядка та j -го стовпця (на перетині яких перебуває обраний елемент). Алгебраїчним доповненням елемента aij визначника D (Aij=(-1)^(i+j)Mij) називається його мінор, узятий зі знаком (-1 )^(i+ j). Теорема (Розкладання визначника за елементами деякого рядка або стовпця). Визначник дорівнює сумі добутків елементів деякого рядка (або стовпця) на відповідні їм алгебраїчні доповнення.
  8. Теорема Лапласа. Зафіксуємо k рядків визначника n -го порядку. Тоді визначник дорівнює сумі добутків всіх визначників k -го порядку, що містять елементи цих k рядків, на їх алгебраїчні доповнення.
  9. Правило Крамера : x1=D1/D , x2=D2/D , … , xn=Dn/D , де Di – визначник, який отримано з визначника D заміною i-го стовпця стовпцем вільних членів.
  10. Вектор – напрямлений відрізок прямої. Під лінійними операціями над векторами розуміють операції додавання векторів і множення вектора на число.
  11. Вектори називаються лінійно незалежними, якщо вони утворюють тільки тривіальну нульову лінійну комбінацію. Якщо ж для векторів існують такі дійсні числа серед яких хоча б одне відмінне від нуля, то вектори називаються лінійно залежними.
  12. Проекцією вектора a на вісь l називається число, яке позначається прla і дорівнює |a|cosj , де j (0 ≤ j ≤ p ) – кут між додатним напрямком осі l та напрямком вектора a , тобто прla = =|a| cosj .
  13. Скалярним добутком (a, b ) (або a b ) двох ненульових векторів a і b називається число, яке дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута j між ними: (a, b ) = |a| ⋅| b| cosj . Якщо хоча б один з векторів a або b є нульовим, то вважають (a, b )= 0. Властивості : (a,b)=(b,a); (a,a)=|a|^2; (aa,b)=(a, ab)= a(a,b); (a+b,c)=(a,c)+(b,c)
  14. Векторним добутком [a, b ] (або a ×b ) двох ненульових векторів a і b називається вектор c, перпендикулярний векторам a і b ; спрямований так, щоб трійка векторів a , b , c виявилася правою; довжина якого дорівнює |a| ⋅|b| sinj , де j – кут між векторами a і b . Якщо a = 0 або b = 0 , то вважають [a, b ]= 0 . Властивості : [a, b ]= 0 тоді й тільки тоді, коли вектори a і b колінеарні; [a, b ]= −[b , a]; l[a , b ] = [la , b ] = [a , lb ]; [a + b , c ]= [a, c ]+ [b , c ]; [a, b + c ]= [a, b ]+ [a, c ].
  15. Мішаним добутком векторів a , b , c називають число (a, b, c )= (a, [b, c]).
  16. Множину векторів будемо називати векторним простором, якщо лінійні операції над будь-якими векторами цієї множини, тобто додавання двох векторів і множення вектора на число, дають вектори тієї ж множини (властивості див. вище). Базисом векторного простору називається така впорядкована сукупність векторів цього простору, яка є лінійно незалежною і максимальною (додавання до цієї системи хоча б одного вектора робить її лінійно залежною). d = aa + bb + gc , де a, b , c – вектори базису. Числа a, b, g називають координатами вектора d в базисі {a , b , c}. Позначення: d (a, b, g ).
  17. Ранг системи векторів— найбільше число лінійно-незалежних векторів з цієї системи.
  18. Рангом матриці A називається число rang A ненульових рядків в матриці ступінчастого виду. Теорема. Система лінійних алгебраїчних рівнянь сумісна тоді й тільки тоді, коли ранг матриці системи дорівнює рангу розширеної матриці цієї системи, тобто rang A = rang A ~ .
  19. Фундаментальною системою розв’язків однорідної системи називається сукупність будь-яких n — rangA частинних, лінійно незалежних розв’язків однорідної системи (частинний розв’язок може бути записаний у вигляді стовпця), де n – число невідомих у системі, а A – матриця системи.
  20. Добутком матриці Am´n = (aij) на матрицю Bn´p = (bjk) називається матриця Cm´p=(cik), кожний елемент i -ого рядка й k -ого стовпця якої дорівнює сумі добутків відповідних елементів i -ого рядка матриці A та k -ого стовпця матриці B. Оберненою до матриці A називається матриця A^(-1) , якщо виконується умова A× A^(-1) = A^(-1) × A = E , де E – одинична матриця того ж порядку, що й матриця A.
  21. Матрицю, обернену до даної, можна знайти, використовуючи один з двох методів: метод алгебраїчних доповнень; метод приєднання одиничної матриці.
  22. Прямокутна система координат, в якій одиниці виміру по всіх осях рівні один одному , називається ортонормована ( декартова ) система координат.
  23. Основні види рівнянь прямої на площині : загальне – Ax+By+C=0; канонічне(через 1 точку)- (x-x0)/ax=(y-y0)/ay ; канонічне(через 2 точки) – (x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1); рівняння відрізків на осях – x/a+y/b=1; параметричне – x-x0=jax y-y0=jay; рівняння з кутовим коеф – y=kx+b; нормальне рівняння – (A/n)x+(B/n)y+(C/n)=0 ; через точку перпендикулярно вектору – A(x-x0)+B(y-y0)=0
  24. Основні види рівнянь прямої у просторі : загальне – A1x+B1y+C1z+D=0 A2x+B2y+C2z=0; канонічне (через точку) – (x-x0)/ax=(y-y0)/ay=(z-z0)/az ; канонічне( через 2 точки) – (x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)(y2-y1)=(z-z1)(z2-z1); параметричне – x-x0=jax y-y0=jay z-z0=jaz
  25. Основні види рівнянь площини : загальне – Ax+By+Cz+D=0 ; через точку перпендикулярно вектору – A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0; нормальне рівняння – (Ax+By+Cz+D)/(sqrt(A^2+B^2+C^2))=0 ; відрізки на осях – x/a+y/b+z/c=1
  26. Число a+bi , де a і b — будь-які дійсні числа, i — уявна одиниця, називається комплексним числом(a — дійсна частина, bi — уявна частина комплексного числа, а b — коефіцієнт при уявній частині). Запис a+bi називають алгебраїчною формою комплексного числа. Ще є тригонометрична форма комплексного числа  a+bi=r(cosj+isinj)
  27. Алгебраїчні дії над комплексними числами : додавання, віднімання, ділення, множення. Тригонометричні дії над комплексними числами : множення , ділення, піднесення до степені , добування кореня.
  28. Многочлен— сума скінченного числа одночленів (кожний з яких називається членом многочлена). Дії над многочленами : додавання , віднімання, множення.
  29. Еліпс канонічне рівняння – x^2/a^2+y^2/b^2=1 . Гіпербола – x^2/a^2-y^2/b^2. Парабола – y^2=2px. Точка – x^2/a^2+y^2/b^2=0. Дві прямі що перетинаються – x^2/a^2-y^2/b^2. Дві паралельні прямі – x^2/a^2=0. Одна пряма – x^2=0. Уявний еліпс – x^2/a^2 + y^2/b^2= -1. Уявні паралельні прямі – x^2/y^2= -1.
  30. Класифікація поверхонь другого порядку : Еліпсоїд – x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1. Уявний еліпсоїд – x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=-1. Уявний конус – x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=0. Однополостний гіперболоїд – x^2/a^2 + y^2/b^2-z^2/c^2=1. Двополосний гіперболоїд – . Рівняння конуса – . Рівняння еліптичного параболоїда – . Рівняння гіперболічного параболоїда – . Рівняння еліптичного циліндра – . Рівняння мнимого еліптичного циліндра – . Рівняння пари умовних пересічних площин –  . Рівняння гіперболічного циліндра – . Рівняння пари пересічних площин –  . Рівняння параболічного циліндра – . Рівняння пари паралельних площин –  . Рівняння пари умовних паралельних площин –  . Рівняння пари співпадаючих площин – .
  31. Групоюназивається множина G, на якій визначено бінарну операцію G x G → G що зазвичай називають множенням і позначають (a, b)→a∙b або (a, b)→a∙b і має такі властивості: асоціативність, існування нейтрального елемента , існування оберненого елемента.
  32. По́леалгебраїчна структура, для якої визначено дві пари бінарних операцій: додавання/відніманнята множення/ділення, що задовольняють умовам, подібним до властивостей арифметичних операцій над раціональнимидійсними або комплексними числами.
  33. Векторний простір (лінійний простір) — безліч елементів, які називаються векторами, для яких визначені операції додавання і множення на число. Базисом простору називають таку систему векторів, що всі інші вектори простору можна представити у вигляді лінійної комбінації векторів, що входять в базис.  Вимірність векторного простору це максимальна кількість лінійно незалежних векторів, які можна знайти в цьому просторі.
  34. Підпростором векторного простору називається непорожня підмножина векторів простору, яка сама утворює векторний простір. Підпростір, породжений множиною(або лінійна оболонка) елементів  із L це мінімальний підпростір, що містить елементи . Сума й перетин підпросторів є підпросторами простору V.
  35. Лінійний простір над полем дійсних чисел називається дійсним евклідовим простором, якщо в ньому визначена операція скалярного добутку двох будь-яких векторів, тобто будь-якій парі векторівx та y простору ставиться у відповідність дійсне число (x;y) . При цьому для будь-яких векторів простору повинні виконуватися такі умови (аксіоми): (x;y)=(y;x); (jx;y)=j(x;y); (x1+x2;y)=(x1;y)+(x2;y). Нерівність Коші—Буняковського — нерівність, що зв’язує норму та скалярний добуток векторів векторного простору.
  36. Ядро відображенняв лінійній алгебрі — множина елементів, що відображається в нульовий елемент, як, наприклад, ядро лінійного оператораядро матриці. Образ — результат (Y) отображения прообраза (X) для заданных отображения (функции) F˸X → Y,  и . Записывается как y=F(x). Ранг матриці — порядок найбільших відмінних від нуля мінорів цієї матриці (такі мінори називаються базисними). Размерность образа Im A называется рангом rg A линейного оператора, а размерность его ядра называется дефектом def A линейного оператора.
  37. Теорема про ранг матриці.Найвищий порядок мінорів матриці, що не дорівнюють нулю, дорівнює рангу матриці.
  38. Квадрати́чна фо́рма— однорідний многочлен другого степеня від однієї чи декількох змінних. Для довільної квадратичної форми існує базис, в якому її матриця є діагональною, а сама форма має канонічний вигляд.Для приведення квадратичної форми до канонічного вигляду використовують метод виділення повних квадратів (метод Лагранжа).
  39. Закон інерції: кількість нульових, позитивних та негативних елементів в діагональній матриці канонічної форми не залежить від обраного базису. Ці три числа називаються сигнатурою квадратичної форми. Якщо на діагоналі присутні нульові елементи (отже матриця має неповний ранг), то така квадратична форма називається виродженою.
  40. Квадратична форма називається додатноозначеною (від’ємноозначеною) якщо    Критерій Сільвест ра: Квадратична форма є додатньо визначеною, тоді і тільки тоді, коли всі кутові мінори її матриці строго додатні Квадратичная форма є від’ємно визначеною, тоді і тільки тоді, коли знаки всіх кутових мінорів її матриці чергуються, причому мінор порядку 1 — від’ємний.

Добавить комментарий

Заполните поля или щелкните по значку, чтобы оставить свой комментарий:

Логотип WordPress.com

Для комментария используется ваша учётная запись WordPress.com. Выход / Изменить )

Фотография Twitter

Для комментария используется ваша учётная запись Twitter. Выход / Изменить )

Фотография Facebook

Для комментария используется ваша учётная запись Facebook. Выход / Изменить )

Google+ photo

Для комментария используется ваша учётная запись Google+. Выход / Изменить )

Connecting to %s