Про МАТЕМАТИКУ

Історія розвитку алгебри, історичні задачі.

Вавилон. Джерела алгебри сходять до глибокої стародавності. Уже близько 4000 років тому вавилонські вчені володіли розв’язком квадратного рівняння й вирішували системи двох рівнянь, з яких одне — другому ступеня. За допомогою таких рівнянь вирішувалися різноманітні задачі землемерення, будівельного мистецтва й військовий справи. Літерні позначення, застосовувані нами в алгебрі, не вживалися вавилонянами; рівняння записувалися в словесній формі.

Греція. Перші скорочені позначення для невідомих величин зустрічаються в давньогрецького математика Диофанта (2-3 дне). Невідоме Диофант іменує "аритмос" (число), другий ступінь невідомого "дюнамис" (це слово має багато значень: сила, могутність, ступінь і ін.). Третій ступінь Диофант називає "кюбос" (куб), четверту — "дюнамодюнамис", п’яту — "дюнамокубос", шосту — "кюбокюбос". Ці величини він позначає першими буквами їх найменувань (ар, дю, кю, ддю, дкю, ккю). Відомі числа для відмінності від невідомих супроводжуються позначенням "мо" (монас — одиниця). Додавання не позначається зовсім, для вирахування є скорочене позначення, рівність позначається "іс" (ісос — рівний). Ні вавилоняни, ні греки не розглядали негативних чисел. Рівняння 3 ар 6 мо іс 2 ар 1 мо (3x+6=2x+1) Диофант називає "недоречним". Переносячи члени з однієї частини рівняння в іншу, Диофант говорить, що доданок стає, що віднімаються, а від’ємник — доданком.

Китай. За 2000 років до нашого часу китайські вчені вирішували рівняння першого ступеня і їх системи, а також квадратні рівняння. Їм були знайомі негативні й ірраціональні числа. Тому що в китайському листі кожний знак зображує деяке поняття, то в китайській алгебрі не могло бути "скорочених" позначень. У наступні епохи китайська математика збагатилася новими досягненнями. Так у кінці 13 століття китайці знали закон утвору біноминальних коефіцієнтів, відомий нині під іменем "трикутник Паскаля". У Західній Європі цей закон був відкритий (Штифелем) на 250 років пізніше.

Індію. Індійські вчені широко застосовували скорочені позначення невідомих величин і їх ступенів. Ці позначення є початковими буквами відповідних найменувань (невідоме називалося "стільке-то"; для відмінності другого, третього і т.д. невідомого вживалися найменування квітів: "чорне", "блакитне", "жовте" і т.д.). Індійські автори широко вживали ірраціональні й негативні числа. Разом з негативними числами в числову родину ввійшов нуль, який колись позначав лише відсутність числа.

Принцип Діріхле

При́нцип Діріхле́ (також принцип коробок Діріхле, принцип голубів і кліток ) — комбінаторне твердження, сформульоване німецьким математиком Петером Діріхле.

Найчастіше в україномовній і російськомовній літературі використовується неформальне формулювання з кролями і клітками. В англомовній літературі частіше у формулюванні присутні голуби (звідси поширена назва pigeonhole principle).

Найбільш поширене наступне формулювання цього принципу:

Припустимо, деяке число кроликів розсаджені в клітках. Якщо число кроликів більше, ніж число кліток, те хоч би в одній з кліток буде більше одного кролика.

Більш загальне формулювання:

Припустимо, m кроликів розсаджені в n клітках. Тоді, якщо m > n, те хоч би в одній клітці міститься не менше clip_image001кроликів, а також хоч би в одній іншій клітці міститься не більше clip_image002кроликів.

У рамках більш абстрактних зрозуміти:

Нехай задана функція clip_image003і потужність множини A більше потужності B. Тоді функція f не є ін’єктивною.

Можливі також формулювання для окремих випадків, наприклад:

Якщо число кліток більше, ніж число кролів, те принаймні одна клітка порожня.

Приклади застосування

10 друзів відправили один одному святкові листівки. Кожний з їх відправив 5 листівок. Довести, що якихось двоє друзів відправили листівки один одному.

Доведення. кількість пара, що можна утворити з 10 друзів: C210 = 45. А всього відправлених листівок 5∙10=50. Отже, згідно з принципом Діріхле, на деякі з пара друзів припадає дві листівки.

Є 11 різних натуральних чисел, не більших 20. Доведіть, що з них можна вибрати два числа, одне з яких ділиться на інше.

Відповідь: беремо всі парні числа серед 11 обраних і розділимо кожне на максимальний ступінь двійки, щоб у частці вийшло непарне число. Маємо тепер 11 непарних чисел менше 20. Серед них є рівні (усього непарних чисел 10). Звідси випливає твердження задачі.

Доведіть, що найдеться число, записуване одними одиницями, що й ділиться на 1999.

Відповідь: Розглянемо послідовність чисел 1, 11, 111, … Допустимо, що жодне з них не ділиться на 1999. Оскільки залишки від ділення цих чисел на 1999 можуть рівнятися числам від 1 до 1998, то найдуться серед послідовності два числа, що дають при діленні на 1999 однакові залишки. Тоді їх різниця ділиться на 1999. Відкинувши в цій різниці нулі, тобто розділивши на ступінь 10 — число, взаємно простої з 1999, одержимо число з одних одиниць, що ділиться на 1999.

Математичні парадокси

Фактично наука рухається від парадокса до парадокса. Це віхи, якими позначені її зльоти. Але й падіння теж, оскільки виявлення парадокса сприймається спочатку як настання катастрофи, як розвал мистецьки побудованого будинку. Звернемося у зв’язку із цим до самої строгої науки – математиці. Видалося, тут-те не повинне виникати нічого схожого. Не випадково говорять: імовірно, найбільший парадокс полягає в тому, що у математиці є парадокси. Вони не тільки є, але й представляються найбільш вражаючими, а разом з тим особливо складними й важкими для розуміння.

Перша криза вибухнула ще в стародавності й був викликаний відкриттям факту несумірності величин.

Парадокс полягав у тому, що окремо кожна з несумірних величин і діагональ і сторона квадрата – може бути обмірювана й кількісно точно визначена. Однак виразити їхні довжини через відносини друг до друга за допомогою чисел, що були тоді, не вдавалося. Пояснимо це за допомогою такої операції. Беремо сторону квадрата й станемо відкладати її на діагоналі. Ми виявимо, що сторона не укладається на ній ціле число раз. Обов’язково буде остача. Але ж можна спробувати укласти остачу, якщо він уміститься ціле число раз, загальний захід знайдений. На жаль! І остача не вміщається в ціле число дій. Знову виходить остача, яка поводиться точно так само, як його більші попередники, і т.д. Це, що не піддається виміру відношення діагоналі й сторони квадрата було представлено вираженням V2 (корінь квадратний). Воно має наступне походження. Якщо квадрат розрізати по діагоналі, одержимо два прямокутні рівнобедрені трикутники, де лінія колишньої діагоналі буде гіпотенузою, а сторони квадрата – катетами. Згідно зі знаменитою теоремою Піфагора квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів, точніше, площа квадрата, побудованого на гіпотенузі, дорівнює сумі площ квадратів, побудованих на катетах. Звідси й величина відношення гіпотенузи до катета (або діагоналі до сторони квадрата), рівна V2 (корінь квадратний). Пізніше знайшли, що також непорівнянні відносини довжини окружності до діаметра (воно виражається числом пі), площі кругу й квадрата, побудованого на радіусі, і інші величини. Криза була переборена введенням нових чисел, які не є ні цілими, ні дробовими. Вони можуть бути представлені у вигляді нескінченних неперіодичних дробів. Приміром, корінь із 2 рівний 1,41.., π= 3,14… і т.д. Людям, що знали тільки раціональні числа, знову введені видалися безглуздими, протиприродними. Це відбилося й у їхній назві:“ірраціональні”, що значить “безглузді”, що лежать по ту сторону розумного.

У цього року ми збираємося випробувати чотири незвичайні дати:

1.1.11; 1.11.11; 11.1.11; 11.11.11 і це ще не всі…

Беремо останні дві цифри року, у якому ви народилися, тепер додайте ваш вік цього року, і результат буде 111 для в с е х!!! Наприклад, Гарри народився в 1957 році, цього року йому виконується 54 роки: Отже 57 +54= 111 . Ольга народилася в 1974 році й цього року їй здійсниться 37 років: 74+37=111 Як Вам це подобається? Відповідно китайському фен-шуй — це рік грошей. Цього року є знаменний місяць жовтень. Він буде мати 5 неділь, 5 понеділків і 5 субот. Таке відбувається один раз 823 року. Саме ці роки називають «грошовими мішками».

Добавить комментарий

Заполните поля или щелкните по значку, чтобы оставить свой комментарий:

Логотип WordPress.com

Для комментария используется ваша учётная запись WordPress.com. Выход / Изменить )

Фотография Twitter

Для комментария используется ваша учётная запись Twitter. Выход / Изменить )

Фотография Facebook

Для комментария используется ваша учётная запись Facebook. Выход / Изменить )

Google+ photo

Для комментария используется ваша учётная запись Google+. Выход / Изменить )

Connecting to %s