Геометрія

Основні властивості (аксіоми) належності точок і прямих на площині

Аксiома І.
1. Яка б не була пряма, існують точки, що належать цій прямій, і точки, що не належать їй.
2. Через будь-які дві точки можна провести пряму, і тільки одну. (Треба розуміти, що тут містяться два твердження: по-перше — існування такої прямої, а по-друге — її єдиність.)
Аксiома ІІ. Із трьох точок на прямій одна й тільки одна лежить між двома іншими.
Відрізком називається частина прямої, яка складається з усіх точок цієї прямої, що лежать між двома даними її точками. Ці точки називаються кінцями відрізка. На рисунку зображено відрізок АВ (відрізок позначають, записуючи його кінці).
clip_image001

Основні властивості (аксіоми) вимірювання відрізків

Аксiома ІІІ.
1. Кожний відрізок має певну довжину, більшу від нуля.
2. Довжина відрізка дорівнює сумі дов­жин частин, на які він розбивається будь-якою його точкою.

Основна властивість розміщення точок відносно прямої на площині

Аксiома ІV. Пряма розбиває площину на дві півпло­щини.
Це розбиття має таку властивість: якщо кінці якого-небудь відрізка належать одній півплощині, то відрізок не перетинає пряму; якщо кінці відрізка належать різним півплощинам, то відрізок перетинає пряму.
Півпрямою, або променем,називають частину прямої, яка складається з усіх точок цієї прямої, що лежать по один бік від даної на ній точки. Ця точка називається початковою точкою променя. Різні півпрямі однієї прямої зі спільною початковою точкою називаються доповняльними.
На рисунку подані промені AB (він же AC), DA (або DB, DC), BC, CB (або CA, CD), BA (або BD), AD.
clip_image002
Промені AB і AD, BC і BD — доповняльні. Промені BD і AC не є доповняльними, бо у них різні початкові точки.
Кут — це фігура, яка складається з точки — вершини кута і двох різних півпрямих, що виходять із цієї точки,— сторін кута.
Кут, поданий на рисунку, можна позначити так: clip_image003, clip_image004, clip_image005.
clip_image006
Якщо сторони кута є доповняльними півпрямими, кут називають розгорнутим:
clip_image007
Кажуть, що промінь проходить між сторонами кута, якщо він виходить з його вершини й перетинає який-небудь відрізок з кінцями на його сторонах. Для розгорнутого кута вважаємо, що будь-який промінь, який виходить з його вершини і відмінний від його сторін, проходить між сторонами кута.

Основні властивості вимірювання кутів

Аксiома V.
1. Кожний кут має певну градусну міру, більшу від нуля. Розгорнутий кут дорівнює clip_image008.
2. Градусна міра кута дорівнює сумі градусних мір кутів, на які він розбивається будь-яким променем, що проходить між його сторонами.

Основні властивості відкладання відрізків і кутів

Аксiома VІ. На будь-якій півпрямій від її початкової точки можна відкласти відрізок даної дов­жини, і тільки один.
Аксiома VІІ. Від будь-якої півпрямої у дану півплощину можна відкласти кут з даною градусною мірою, меншою за clip_image008[1], і тільки один.
Трикутником називається фігура, яка складається з трьох точок, що не лежать на одній прямій, і трьох відрізків, які попарно сполучають ці точки. Точки називаються вершинами трикутника, а відрізки — ­його сторонами.
Трикутник на рисунку можна позначити так: clip_image009або clip_image010, clip_image011і т. д.
clip_image013
Основні елементи поданного вище трикутника: сторони AB, AC, BC (або a, b, c); кути clip_image014(або clip_image015), clip_image016, clip_image017. clip_image014[1]і clip_image017[1]— прилеглі до сторони AC. clip_image016[1]— протилежний стороні AC.
Трикутники називаються рівними, якщо у них відповідні сторони рівні й від­повідні кути рівні. При цьому відповідні кути мають лежати проти відповідних сторін.
Запис clip_image018означає (див. рисунок), що:
clip_image019; clip_image020;
clip_image021; clip_image022;
clip_image023; clip_image024.
clip_image026

Основна властивість існування рівних трикутників

Аксiома VІІІ. Який би не був трикутник, існує трикутник, що дорівнює йому в заданому розміщенні відносно даної півпрямої.
Прямі називаються паралельними, якщо вони не перетинаються.
Паралельні прямі, зображені на рисунку, можна позначити так: clip_image027або clip_image028.
clip_image029

Аксіома паралельних прямих

Аксiома ІХ. Через точку, що не лежить на даній прямій, можна провести на площині не більше як одну пряму, паралельну даній.
Зверніть увагу: аксіома стверджує єдиність такої прямої, але не стверджує її існування.

Взаємне розміщення прямих на площині

Дві прямі на площині можуть:
• збігатися;
• бути паралельними (тобто не перетина­тися);
• мати одну спільну точку.
(Дійсно, якщо б дві прямі могли мати хоча б дві спільні точки, то через ці дві точки проходили б дві різні прямі, що суперечить аксіомі І, п. 2).

Суміжні й вертикальні кути

Два кути називаються суміжними, якщо в них одна сторона спільна, а інші сторони є доповняльними півпрямими.
На рисунку clip_image030і clip_image031— суміжні.
clip_image032

Властивості суміжних кутів

Теорема 1. Сума суміжних кутів дорівнює clip_image008[2]. (Зверніть увагу: кути, сума яких дорівнює clip_image008[3], не обов’язково суміжні.)
Теорема 2. Коли два кути рівні, то суміжні з ними кути теж рівні.
Теорема 3. Кут, суміжний із прямим ­кутом, є прямий кут.
Теорема 4. Кут, суміжний із гострим ­кутом, — тупий.
Теорема 5. Кут, суміжний із тупим кутом, — гострий.
Два кути називаються вертикальними, якщо сторони одного кута є доповняльними півпрямими сторін другого.
На рисунку clip_image033і clip_image034, а також clip_image003[1]і clip_image035— вертикальні:
clip_image037

Властивості вертикальних кутів

Теорема 1. Вертикальні кути рівні.
(Але не всі рівні кути вертикальні.)
Теорема 2. Кути, вертикальні рівним, ­рівні.
Якщо дві прямі перетинаються, то вони утворюють чотири нерозгорнутих кути (див. рисунок). Кожні два із цих кутів або суміжні, або вертикальні:
clip_image038
clip_image039і clip_image040; clip_image041і clip_image042— вертикальні;
clip_image039[1]і clip_image041[1]; clip_image039[2]і clip_image042[1]; clip_image040[1]і clip_image041[2]; clip_image040[2]і clip_image042[2]— суміжні.

Перпендикуляр

Дві прямі називаються перпендикулярними, якщо вони перетинаються під прямим кутом (див. рисунок), тобто, коли вони перетинаються, утворюються чотири прямих кути.
Позначення: clip_image043.
clip_image044
Теорема 1. Через кожну точку прямої можна провести перпендикулярну до неї пряму, і до того ж тільки одну.
Перпендикуляром до даної прямої називається відрізок прямої, перпендикулярної до даної прямої, який має одним зі своїх кінців точку їх перетину.
На рисунку AB — перпендикуляр, проведений із точки A до прямої a. Точка B називається основою перпендикуляра.
Позначення: clip_image045.
clip_image046
Теорема 2. Із будь-якої точки, що не лежить на даній прямій, можна опустити на цю пряму перпендикуляр, і тільки один.
Зверніть увагу: теорема містить два твердження — існування перпендикуляра і його єдиність.

Бісектриса

Бісектрисою кута називається промінь, який виходить із вершини кута, проходить між його сторонами й ділить кут пополам.
На рисунку BD — бісектриса clip_image047.
clip_image048

Властивості бісектриси

Теорема 1. Бісектриса кута утворює з його сторонами кути, не більші за clip_image049.
Теорема 2. Бісектриси вертикальних кутів лежать на одній прямій (тобто є доповняльними півпрямими).
Теорема 3. Бісектриси суміжних кутів утворюють прямий кут.
Теорема 4. Бісектриса розгорнутого кута утворює прямий кут з його стороною.

Ознаки рівності трикутників

Теорема 1 (перша ознака рівності трикутників — за двома сторонами й кутом між ­ними).
Якщо дві сторони й кут між ними одного трикутника дорівнюють відповідно двом сторонам і куту між ними другого трикутника, то такі трикутники рівні.
Теорема 2 (друга ознака рівності трикутників — за стороною й прилеглими до неї ку­тами).
Якщо сторона й прилеглі до неї кути одного трикутника дорівнюють відповідно стороні й прилеглим до неї кутам другого трикутника, то такі трикутники рівні.
Теорема 3 (третя ознака рівності трикутників — за трьома сторонами).
Якщо три сторони одного трикутника дорівнюють відповідно трьом сторонам другого трикутника, то такі трикутники рівні.

Висота, бісектриса, медіана трикутника

Висотою трикутника, опущеною з да­ної вершини, називається перпендикуляр, проведений із цієї вершини до прямої, що містить протилежну сторону трикутника.
У кожному трикутнику можна провести три висоти. Висоти трикутника (або прямі, що їх містять) перетинаються в одній точці.
На рисунках зображено, як перетинаються висоти в гострокутному (рисунок 1), прямокутному (рисунок 2) і ту­покутному (рисунок 3) трикутниках.
clip_image050
Рис. 1
clip_image051
Рис. 2
clip_image053
Рис. 3
Зверніть увагу: якщо в гострокутному трикутнику основи всіх висот лежать на сторонах трикутника, то в прямокутному дві з трьох висот збігаються зі сторонами, а основа висоти, що опущена з вершини гострого кута тупокутного трикутника, лежить на продовженні ­сторони.
Бісектрисою трикутника, проведеною з даної вершини, називається відрізок бісектриси кута трикутника, що сполучає цю вершину з точкою на протилежній стороні.
У кожному трикутнику можна провести три бісектриси, які перетинаються в одній точці (див. рисунок). Ця точка є центром вписаного кола (див. далі).
clip_image054
Медіаною трикутника, проведеною з даної вершини, називається відрізок, що сполучає цю вершину із серединою протилежної сторони. У трикутнику можна провести три медіани, які перетинаються в одній точці.

Рівнобедрений трикутник

Трикутник називається рівнобедреним, якщо у нього дві сторони рівні. Ці сторони називаються бічними сторонами, а третя сторона — основою трикутника.
На рисунку:
ABC — рівнобедрений трикутник;
clip_image055— бічні сторони;
AC — основа.
clip_image057
Теорема 1. У рівнобедреному трикутнику кути при основі є рівними.
Теорема 2. У рівнобедреному трикутнику медіана, висота й бісектриса, проведені до основи, збігаються.
Теорема 3. У рівнобедреному трикутнику медіани, проведені до бічних сторін (а також бісектриси й висоти), рівні.

Рівносторонній трикутник

Якщо всі сторони трикутника рівні, він називається рівностороннім.
На рисунку clip_image058.
clip_image060
Теорема 1. У рівносторонньому трикутнику всі кути рівні.
Теорема 2. У рівносторонньому трикутнику висота, медіана, бісектриса, проведені з однієї вершини, збігаються.
Теорема 3. У рівносторонньому трикутнику всі медіани (висоти, бісектри­си) рівні між собою.

Ознаки рівнобедреного трикутника

Теорема 1. Якщо в трикутнику два кути рівні, то він рівнобедрений.
Теорема 2. Трикутник рівнобедрений, ­якщо:
• одна з його висот є медіаною;
• одна з його медіан є бісектрисою;
• одна з його висот є бісектрисою.
Теорема 3. Трикутник рівнобедрений, ­якщо:
• дві його висоти рівні;
• дві його медіани рівні;
• дві його бісектриси рівні.
Аналогічно можна сформулювати ознаки рівностороннього трикутника.

Паралельні прямі

На рисунку зображені кути, утворені в результаті перетину двох прямих січною:
clip_image061
clip_image039[3]і clip_image062; clip_image042[3]і clip_image063— внутрішні різносторонні кути при прямих a, b і січній c.
clip_image039[4]і clip_image063[1]; clip_image042[4]і clip_image062[1]— внутрішні односторонні.
clip_image040[3]і clip_image064; clip_image041[3]і clip_image065— зовнішні односторонні.
clip_image040[4]і clip_image065[1]; clip_image041[4]і clip_image064[1]— зовнішні різносторонні.
clip_image039[5]і clip_image065[2]; clip_image041[5]і clip_image063[2]; clip_image040[5]і clip_image062[2]; clip_image042[5]і clip_image064[2]— відповідні.

Властивості паралельних прямих

Теорема 1. Якщо дві паралельні прямі перетнуті третьою прямою, то:
1) внутрішні різносторонні кути рівні;
2) сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює clip_image008[4];
3) зовнішні різносторонні кути рівні;
4) сума зовнішніх односторонніх кутів дорівнює clip_image008[5];
5) відповідні кути рівні.
На рисунку позначені числами чотири пари кутів. Теорема стверджує, що, якщо clip_image027[1], то clip_image066, clip_image067; clip_image068; clip_image069; clip_image070:
clip_image071
Теорема 2. Якщо пряма перпендикулярна до однієї з паралельних прямих, то вона перпендикулярна і до другої.
Теорема 3. Через точку, що не лежить на прямій, можна провести пряму, паралельну даній.
Об’єднуючи це твердження з аксіомою IX, отримуємо: через точку, що не лежить на прямій, можна провести пряму, паралельну даній, причому тільки одну.

Ознаки паралельності прямих

Теорема 1. Якщо при перетині двох прямих третьою виконується хоча б одна з таких умов:
а) внутрішні різносторонні кути рівні;
б) сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює clip_image008[6];
в) зовнішні різносторонні кути рівні;
г) сума зовнішніх односторонніх кутів дорівнює clip_image008[7];
д) відповідні кути рівні,— то прямі пара­лельні.
Теорема 2. Дві прямі, паралельні третій, паралельні одна одній.
Теорема 3. Дві прямі, перпендикулярні до третьої, паралельні одна одній.

Сума кутів трикутника

Теорема. Сума кутів трикутника дорівнює clip_image008[8].
Із цієї теореми випливають наслідки:
1. У будь-якому трикутнику принаймні два кути гострі (тобто в трикутнику не може бути більше одного прямого або тупого ­кута).
2. Кути рівностороннього трикутника дорівнюють clip_image072.
Зовнішнім кутом трикутника при даній вершині називається кут, суміжний із кутом трикутника при цій вершині (див. рисунок):
clip_image073

Властивості зовнішнього кута

Теорема 1. Зовнішній кут трикутника дорівнює сумі двох внутрішніх кутів, не суміжних з ним.
Теорема 2. Зовнішній кут трикутника більший від будь-якого внутрішнього кута, не суміжного з ним.
Теорема 3. Сума зовнішніх кутів трикутника дорівнює clip_image074.

Прямокутний трикутник

Трикутник називається прямокутним, якщо він має прямий кут.
Сторона, яка лежить проти прямого кута, називається гіпотенузою.
Сторони, що утворюють прямий кут, називаються катетами.
clip_image075
На рисунку clip_image009[1]— прямокутний. AB і BC — катети, AC — гіпотенуза.
Теорема. Сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює clip_image049[1].

Ознаки рівності прямокутних трикутників

Теорема 1. Якщо гіпотенуза й катет одного прямокутного трикутника відповідно дорівнюють гіпотенузі й катету другого прямокутного трикутника, то такі трикутники рівні.
Теорема 2. Якщо два катети одного прямокутного трикутника відповідно дорівнюють двом катетам другого трикутника, то такі трикутники рівні.
Теорема 3. Якщо гіпотенуза й гострий кут одного прямокутного трикутника відповідно дорівнюють гіпотенузі й гострому куту другого трикутника, то такі трикутники рівні.
Теорема 4. Якщо катет і прилеглий (протилежний) гострий кут одного прямо­кутного трикутника відповідно до­рівнюють катету й прилеглому (про­тилежному) гострому куту другого три­кутника, то такі трикутники ­рівні.

Добавить комментарий

Заполните поля или щелкните по значку, чтобы оставить свой комментарий:

Логотип WordPress.com

Для комментария используется ваша учётная запись WordPress.com. Выход / Изменить )

Фотография Twitter

Для комментария используется ваша учётная запись Twitter. Выход / Изменить )

Фотография Facebook

Для комментария используется ваша учётная запись Facebook. Выход / Изменить )

Google+ photo

Для комментария используется ваша учётная запись Google+. Выход / Изменить )

Connecting to %s