ЗОВНІШНЯ БУДОВА РИБ

Мета: на прикладі річкового окуня ознайомитися з особливостями зовнішньої будови риб, встановити риси їхньої пристосованості до водного способу життя. Обладнання: живі окуні в акваріумі, лупи, таблиці із зображенням зовнішньої будови риб.
Хід роботи
1. Розгляньте зовнішній вигляд риби. Визначте форму тіла і забарвлення. Яке значення має для риби така форма тіла і забарвлення? Відповідь:
Річковий окунь, як і більшість інших риб, має обтічну форму тіла. Це допомагає йому швидко плавати у воді. Забарвлення окуня залежить від навколишнього середовища. Спина в окуня темно-зеленого кольору, боки — зеленого кольору з вертикальними темними смугами, черевце — світле. Таке захисне забарвлення допомагає рибі ховатися від ворогів і краще підстерігати здобич.
2. Знайдіть відділи тіла риби. Пояснення:
Тіло риби складається з трьох відділів: голови, тулуба, хвоста. На голові містяться пара очей без повік, рот із губами, ніздрі, зяброві кришки (захищають зябра). На тулубі знаходяться плавці. Хвіст закінчується хвостовим плавцем.
3. Розгляньте парні й непарні плавці. Яке їхнє значення в житті риби? Прослідкуйте за пересуванням риби у воді.
Пояснення:
Вигинаючи тіло і хвіст, окунь рухається вперед. У плаванні велику роль відіграють плавці: парні (грудні та черевні) і непарні (спинні й анальний). Парні плавці допомагають рибі робити повороти, зупинятися, зберігати рівновагу. Спинні та анальний плавці надають тілу риби стійкість під час руху і крутих поворотів. Кожен плавець складається з тонкої шкірної перетинки, що підтримується кістковими променями. Така будова плавця збільшує його поверхню.
4. Зверніть увагу на луску, що вкриває тіло риби зовні. Як вона розміщена? Яке це має значення?
Відповідь:
Тіло окуня вкрите кістковою лускою. Кожна лусочка своїм переднім краєм заходить у шкіру, а заднім — налягає на лусочку наступного ряду. Зовні луска вкрита шаром слизу, який зменшує тертя тіла риби об воду і захищає рибу від бактерій та цвілевих грибів.
5. Знайдіть за допомогою лупи бічну лінію риби. Яке вона має значення в житті риби?
Відповідь:
З боків на тілі риби від голови до хвоста тягнеться бічна лінія — це особливий орган чуттів у вигляді невеличких отворів на шкірі риби. Бічна лінія сприймає напрям і силу течії води. Завдяки бічній лінії риба не наштовхується на перешкоди і може ловити здобич.
6. Намалюйте зовнішню будову річкового окуня, позначте частини його тіла.
7. Зробіть висновок. Висновок:
Риби — водяні тварини. У зв’язку з життям у воді у риб виникли спеціальні пристосування: обтічна форма тіла, наявність луски та слизу, плавців. Органи чуття: очі без повік, бічна лінія. Зябра вкриті зябровими кришками.

ЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 9 ЗОВНІШНЯ БУДОВА РИБ

Розподіліть риб за рядами за допомогою літер алфавіту.
а) Ряд Акули: в, з;
б) Ряд Осетроподібні: б, є;
в) Ряд Оселедцеподібні: г, й;
г) Ряд Коропоподібні: д, і, ї, ж;

ЗОВНІШНЯ І ВНУТРІШНЯ БУДОВА ЛАНЦЕТНИКА

Мета: вивчити особливості зовнішньої і внутрішньої будови ланцетника, основні
ознаки типу хордових. Обладнання: постійні препарати ланцетника, лупи, мікроскопи, лінійки.
Хід роботи
1. Розгляньте постійний мікропрепарат ланцетника, визначте форму тіла, розміри, передній і задній кінці тіла. Пояснення:
Тіло ланцетника біло-рожевого кольору, напівпрозоре, з боків сплюснуте, на передньому й задньому кінцях загострене, завдовжки 4-8 см.

2. Знайдіть передротову лійку зі щупальцями, хвостовий та спинний плавці. Пояснення:
На передньому кінці тіла ланцетника міститься ротовий отвір, оточений перед-ротовою заглибиною зі щупальцями. На задньому кінці тіла міститься хвостовий плавець, що своєю формою нагадує гострий хірургичний інструмент — ланцет. Перед хвостовим плавцем розташований анальний отвір. На спинному боці знаходиться згортка, що утворює спинний плавець.
3. Розгляньте внутрішню будову ланцетника. Знайдіть нервову трубку, хорду, зяброві щілини.
Пояснення:
Уздовж спинної частини тіла ланцетника тягнеться хорда — твердий пружний стрижень. Вона виконує роль осьового скелету та зберігається в ланцетника протягом усього життя. Нервова трубка тягнеться вздовж спини над хордою. Від неї відходять нерви. Органи дихання ланцетника — зябра. Дихання відбувається водночас із живленням. Зяброві щілини пронизують стінки глотки. Біля зябрових щілин містяться капіляри, у яких відбувається газообмін між водою і кров’ю. З води в кров переходить кисень, а з крові у воду — вуглекислий газ.
4. Намалюйте схему будови ланцетника, вкажіть його основні частини тіла.
5. Висновок:
Ланцетник — це примітивна хордова тварина, у якої хорда зберігається протягом усього життя. Тіло ланцетника сплющене з боків, кінці загострені, є спинний та хвостовий плавці. Нервова система представлена нервовою трубкою, органи дихання — зябра.
6. Додаткове завдання. Впишіть пропущені слова:
Уздовж спинної частини тіла ланцетника розміщена хорда, яка виконує роль внутрішнього скелету. М’язи ланцетника містяться з боків від хорди у вигляді двох стрічок. Кровоносна система замкнена і складається зі спинної та черевної кровоносних судин. Органи дихання — зябра, за допомогою яких ланцетник дихає розчиненим у воді киснем.

ЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 8 ЗОВНІШНЯ І ВНУТРІШНЯ БУДОВА ЛАНЦЕТНИКА

ЗОВНІШНЯ БУДОВА КОМАХ

Мета: розглянути особливості зовнішньої будови комах на прикладі травневого
хруща. Виявити ознаки, характерні для класу комах. Обладнання: колекції травневого хруща, голки, лупи, лінійки.
Хід роботи
1. Розгляньте травневого хруща та визначте форму і розміри тіла, забарвлення. Пояснення:
Тіло хруща має циліндричну форму, світло-коричневого кольору, завдовжки 2-3 см.
2. Випробуйте голкою міцність покриву тіла жука. Який він? Відповідь:
Тіло хруща вкрите міцним хітиновим покривом. Зовнішній хітиновий скелет захищає м’які частини тіла від пошкоджень.
3. З яких відділів складається тіло комах? Відповідь:
Тіло жука складається з трьох відділів: голови, грудей, черевця.
4. Визначте, які органи містяться на голові, їхню кількість і значення. Пояснення:
На голові жука розташовані ротові органи: верхня і нижня губи, дві пари щелеп (верхні й нижні). На нижніх щелепах і нижній губі є по парі щупиків — органи дотику й смаку. З обох боків голови є два складних ока. Кожне око складається з кількох тисяч простих очок. Попереду голови знаходяться пара вусиків з розширеними пластинками на кінцях. Це органи нюху.
5. Розгляньте груди хруща. Скільки члеників вони мають? Скільки пар кінцівок прикріплюється до грудей?
Відповідь:
Грудний відділ тіла хруща складається з трьох частин (передньої, середньої, задньої), на кожній з яких є пара ніг. У комахи 6 ніг. Кінцівки мають членисту будову.
6. Знайдіть на спині хруща надкрила й крила. Визначте, до якого відділу вони прикріплюються, та їхнє значення.
Відповідь:
На спинній частині тіла хруща знаходяться тверді надкрила — це видозмінені передні крила. Вони захищають перетинчасті крила й спинну частину черевця з м’яким покривом. Перед польотом жук трохи піднімає і відводить убік надкрила, розпростує складені під ними крила і так злітає. Під час польоту надкрила

мають для хруща таке саме значення, як несучі поверхні для літака, а крила виконують роль пропелерів.
7. Розгляньте черевце. Що ви на ньому побачили? Відповідь:
Черевце хруща нерухомо з’єднане з грудьми. Воно складається з 8 сегментів і майже все вкрите надкрилами. Виступає тільки загострений кінчик черевця.
ІІо краях спинної частини черевця на кожному членику розміщені маленькі отвори — дихальця, які беруть участь у процесі дихання.
8. Намалюйте зовнішню будову травневого хруща, зробіть позначення.
9. Заповніть таблицю.

Ознаки
Особливості

Покрив тіла
хітиновий

Довжина тіла
2-3 см

Забарвлення
світло-коричневе

Відділи тіла
голова, груди, черевце

Органи голови
пара вусиків, ротовий апарат, складні очі

Органи грудей
3 пари ніг, крила, надкрила

Черевце
8 сегментів, дихальця

10. Висновок:
Комахи — група членистоногих, тіло яких поділене на голову, груди, черевце. Для них характерна наявність крил (надкрила є не у всіх комах), трьох пар кінцівок, твердого хітинового покриву.

ЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 7 ЗОВНІШНЯ БУДОВА КОМАХ

ЗОВНІШНЯ БУДОВА РІЧКОВОГО РАКА

Мета: розглянути особливості зовнішньої будови річкового рака у зв’язку
стосуванням до умов життя у воді. Обладнання: вологі препарати річкових раків, лупи, лінійки.

Хід роботи
1. Розгляньте зовнішній вигляд річкового рака. Визначте форму тіла, розміри, забарвлення.
Пояснення:
Річковий рак має видовжену форму тіла, завдовжки 15-20 см, зеленувато-бу-рого кольору.
2. Випробуйте міцність покриву тіла рака. Яке він має значення? Відповідь:
Річковий рак має міцний хітиновий покрив, який захищає м’які частини тіла. Він також виконує роль зовнішнього скелету рака, до якого прикріплюються м’язи.
3. Знайдіть відділи тіла рака. Знайдіть шов, що розмежовує голову та груди. Пояснення:
Тіло рака поділяється на 2 відділи: головогруди та черевце. Головогруди складаються з двох частин, що нерухоме) зрослися між собою: головної та грудної. Між цими частинами є шов у вигляді вигнутої борозни.
4. Розгляньте органи головогрудей. Зверніть увагу на вусики, очі, ротові органи. Пояснення:
Спереду на головогрудях рака знаходиться гострий шип. З боків від нього та заглибинах на рухомих стебельцях розташовані складні очі, а вперед стирчать дві пари тонких, рухливих вусиків (довгі й короткі). Це органи дотику і нюху. Ротовий аппарат представлений верхньою губою та трьома парами щелеп і ногощелеп.
5. Розгляньте груди рака. Знайдіть ходильні ноги. Скільки їх? Відповідь:
Груди рака складаються з 8 сегментів, до яких прикріплені 8 пар грудних кінцівок. Перші три пари — ногощелепи, задні 5 пар — грудні кінцівки (ходильні ноги), з яких перша пара — клішні — орган нападу та захисту.
6. Розгляньте черевце. Скільки воно має сегментів? Знайдіть плавальні ніжки та хвостовий плавець.
Пояснення:
Черевце складається з 6 сегментів та хвостового плавця. Є 5 пар двогіллястих кінцівок, за допомогою яких рак пересувається. У самців черевце вужче від грудей, дві передні пари черевних ніжок беруть участь у заплідненні. У самок до черевних ніжок прикріплюються ікринки.
7. Намалюйте зовнішню будову річкового рака. Зробіть позначення частин його тіла.
8. Дані спостережень занесіть у таблицю.

Ознаки
Характеристика

Форма тіла
витягнута

Забарвлення
зеленкувато-буре

Розміри тіла
15-20 см

Покрив
хітиновий

Відділи тіла
головогруди і черевце

Органи головогрудей
ротовий апарат, 2 пари вусиків, очі, 5 пар ходильних ніг

Органи черевця
черевні ніжки, хвостовий плавець

9. Висновок:
Річковий рак — мешканець прісних водойм. Для життя у воді він має ряд пристосувань: наявність міцного, щільного хітинового покриву, захисного забарвлення тіла, плавальних ніжок та хвостового плавця, зябр.

ВИВЧЕННЯ БУДОВИ МОЛЮСКІВ (АКВАРІУМНІ МОЛЮСКИ АБО КОЛЕКЦІЇ ЧЕРЕПАШОК)

Мета: ознайомитися із зовнішньою будовою молюсків та їхніх черепашок, визначити риси складності їхньої будови у порівнянні з червами. Обладнання: черепашки молюсків, лупи, лінійки.
Хід роботи
1. Розгляньте черепашки беззубки та ставковика звичайного. Визначте форму, забарвлення, розміри черепашок.

Пояснення:
Черепашка беззубки овальної форми, 8-10 см завдовжки. Передній кінець її заокруглений, задній — загострений. Черепашка складається з двох стулок; зовні коричневого кольору, всередині — перламутрового. Черепашка ставковика спірально закручена, зеленувато-коричневого кольору, довжиною 4-7 см.
2. Знайдіть на черепашці беззубки місця прикріплення м’язів-замикачів. Пояснення:
Обидві стулки черепашки беззубки з’єднані між собою зв’язками. Вони можуть розкриватися, і крізь щілину висувається нога молюска, за допомогою якої беззубка пересувається. Якщо її потривожити, вона втягує ногу й закриває черепашку за допомогою двох м’язів-замикачів.
3. Знайдіть на черепашці ставковика верхівку та отвір.
Черепашка ставковика має гостру верхівку й широкий отвір — вустя. Крізь вустя черепашки можуть висуватися голова, нога й передня частина тулуба.
4. Намалюйте черепашки ставковика і беззубки, позначте їхні частини.
5. Висновок:
Молюски — безхребетні тварини, тіло більшості яких складається з голови, тулуба, ноги. У них утворюється захисна черепашка. Черевоногі молюски (ставковик) мають спіральнозакручену черепашку; двостулкові (беззубка) — двостулкову черепашку й позбавлені голови. У порівнянні з кільчастими червами у молюсків ускладнюється травна, кровоносна системи, добре розвинена дихальна система (зябра, легені).
6. Перевір себе.
Впишіть пропущені слова:
Кровоносна система молюсків незамкнена. Є м’язовий орган серце, що забезпечує рух крові по судинах. Воно складається з передсердь та шлуночка. Через серце рухається збагачена киснем артеріальна кров; кров без кисню (венозна) рухається від органів до легенів, де перетворюється на артеріальну.

ЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 5ВИВЧЕННЯ БУДОВИ МОЛЮСКІВ (АКВАРІУМНІ МОЛЮСКИ АБО КОЛЕКЦІЇ ЧЕРЕПАШОК)

ЗОВНІШНЯ БУДОВА КІЛЬЧАСТИХ ЧЕРВІВ

Мета: виявити характерні особливості зовнішньої будови дощового черв’яка, визначити риси пристосованості червів до умов життя у ґрунті. Обладнання: живі дощові черв’яки (10-15 шт.), ванночки, препарувальні голки, лупи, готові вологі мікропрепарати.
Хід роботи
1. Розгляньте живого дощового черв’яка. Визначте форму тіла, забарвлення, розміри.
Пояснення:
Дощовий черв’як має витягнуте, округле в поперечному розрізі, кільчасте тіло завдовжки 10-16 см. Колір тіла — рожевий.
2. Знайдіть передній і задній кінці тіла. Розгляньте потовщення — поясок. Пояснення:
Передній кінець тіла більш загострений. На ньому міститься ротовий отвір. Задній кінець тіла — тупий. На передньому кінці тіла знаходиться потовщення — поясок, необхідний для відкладання яєць.
3. Визначте черевну та спинну частини тіла черв’яка. На черевній частині за допомогою лупи знайдіть щетинки. Яке вони мають значення?
Відповідь:
Черевна частина тіла черв’яка плоска, а спинна — більш опукла. На кожному членику черевної частини є маленькі щетинки. Вони майже не помітні, але якщо ми проведемо пальцем від заднього кінця тіла до переднього, то відразу відчуємо їх. Щетинки полегшують пересуваня дощового черв’яка.

4. Простежте за пересуванням черв’яка. Поясніть характер його рухів. Пояснення:
Пересувається черв’як за допомогою кільцевих та поздовжніх м’язів: спочатку стискує передній кінець тіла, потім підтягує задню частину тіла та навпаки. Такий характер пересування дозволяє черв’яку прокладати ходи у ґрунті.
5. Препарувальною голкою доторкніться до шкіри черв’яка в різних частинах тіла. Як черв’як реагує на дотик?
Відповідь:
Реакція черв’яка на дотик така: він починає скорочувати своє тіло, бо в його шкірі є спеціальні чутливі клітини.
6. Намалюйте схему будови дощового черв’яка, зробіть позначення на малюнку.
7. Зробіть висновок. Які риси пристосованності до життя у ґрунті є в дощового черв’яка?
Висновок:
Дощовий черв’як має обтічну форму тіла, вкритого слизом. На кожному сегменті черевної частини тіла розташовані щетинки, завдяки яким черв’як може пересуватися у ґрунті. Також він може «проїдати» собі ходи у ґрунті. Передній кінець тіла загострений, задній — тупий; добре розвинені м’язи. Це теж покращує пересування.
Додаткове завдання
1. Чи всі сегменти тіла кільчастих червів однакові? Відповідь:
Тіло кільчастих червів складається з численних сегментів. Більшість сегментів подібні, тільки перший та останній відрізняються від інших. Перший сегмент — передротова лопать, останній — анальна лопать. Перед останнім сегментом знаходиться зона росту черв’яка.
2. Яке значення для черв’яка має поясок? Відповідь:
Дощові черв’яки — гермафродити. Перед відкладанням яєць пара черв’яків обмінюється сім’яною рідиною. Після цього з пояска виділяється слиз, у який відкладаються яйця. Потім клубок із яйцями скочується з тіла черв’яка і твердне, перетворюючись на кокон. З кокона виходять молоді черв’яки.

ЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 4 ЗОВНІШНЯ БУДОВА КІЛЬЧАСТИХ ЧЕРВІВ

Про МАТЕМАТИКУ

Історія розвитку алгебри, історичні задачі.

Вавилон. Джерела алгебри сходять до глибокої стародавності. Уже близько 4000 років тому вавилонські вчені володіли розв’язком квадратного рівняння й вирішували системи двох рівнянь, з яких одне — другому ступеня. За допомогою таких рівнянь вирішувалися різноманітні задачі землемерення, будівельного мистецтва й військовий справи. Літерні позначення, застосовувані нами в алгебрі, не вживалися вавилонянами; рівняння записувалися в словесній формі.

Греція. Перші скорочені позначення для невідомих величин зустрічаються в давньогрецького математика Диофанта (2-3 дне). Невідоме Диофант іменує "аритмос" (число), другий ступінь невідомого "дюнамис" (це слово має багато значень: сила, могутність, ступінь і ін.). Третій ступінь Диофант називає "кюбос" (куб), четверту — "дюнамодюнамис", п’яту — "дюнамокубос", шосту — "кюбокюбос". Ці величини він позначає першими буквами їх найменувань (ар, дю, кю, ддю, дкю, ккю). Відомі числа для відмінності від невідомих супроводжуються позначенням "мо" (монас — одиниця). Додавання не позначається зовсім, для вирахування є скорочене позначення, рівність позначається "іс" (ісос — рівний). Ні вавилоняни, ні греки не розглядали негативних чисел. Рівняння 3 ар 6 мо іс 2 ар 1 мо (3x+6=2x+1) Диофант називає "недоречним". Переносячи члени з однієї частини рівняння в іншу, Диофант говорить, що доданок стає, що віднімаються, а від’ємник — доданком.

Китай. За 2000 років до нашого часу китайські вчені вирішували рівняння першого ступеня і їх системи, а також квадратні рівняння. Їм були знайомі негативні й ірраціональні числа. Тому що в китайському листі кожний знак зображує деяке поняття, то в китайській алгебрі не могло бути "скорочених" позначень. У наступні епохи китайська математика збагатилася новими досягненнями. Так у кінці 13 століття китайці знали закон утвору біноминальних коефіцієнтів, відомий нині під іменем "трикутник Паскаля". У Західній Європі цей закон був відкритий (Штифелем) на 250 років пізніше.

Індію. Індійські вчені широко застосовували скорочені позначення невідомих величин і їх ступенів. Ці позначення є початковими буквами відповідних найменувань (невідоме називалося "стільке-то"; для відмінності другого, третього і т.д. невідомого вживалися найменування квітів: "чорне", "блакитне", "жовте" і т.д.). Індійські автори широко вживали ірраціональні й негативні числа. Разом з негативними числами в числову родину ввійшов нуль, який колись позначав лише відсутність числа.

Принцип Діріхле

При́нцип Діріхле́ (також принцип коробок Діріхле, принцип голубів і кліток ) — комбінаторне твердження, сформульоване німецьким математиком Петером Діріхле.

Найчастіше в україномовній і російськомовній літературі використовується неформальне формулювання з кролями і клітками. В англомовній літературі частіше у формулюванні присутні голуби (звідси поширена назва pigeonhole principle).

Найбільш поширене наступне формулювання цього принципу:

Припустимо, деяке число кроликів розсаджені в клітках. Якщо число кроликів більше, ніж число кліток, те хоч би в одній з кліток буде більше одного кролика.

Більш загальне формулювання:

Припустимо, m кроликів розсаджені в n клітках. Тоді, якщо m > n, те хоч би в одній клітці міститься не менше clip_image001кроликів, а також хоч би в одній іншій клітці міститься не більше clip_image002кроликів.

У рамках більш абстрактних зрозуміти:

Нехай задана функція clip_image003і потужність множини A більше потужності B. Тоді функція f не є ін’єктивною.

Можливі також формулювання для окремих випадків, наприклад:

Якщо число кліток більше, ніж число кролів, те принаймні одна клітка порожня.

Приклади застосування

10 друзів відправили один одному святкові листівки. Кожний з їх відправив 5 листівок. Довести, що якихось двоє друзів відправили листівки один одному.

Доведення. кількість пара, що можна утворити з 10 друзів: C210 = 45. А всього відправлених листівок 5∙10=50. Отже, згідно з принципом Діріхле, на деякі з пара друзів припадає дві листівки.

Є 11 різних натуральних чисел, не більших 20. Доведіть, що з них можна вибрати два числа, одне з яких ділиться на інше.

Відповідь: беремо всі парні числа серед 11 обраних і розділимо кожне на максимальний ступінь двійки, щоб у частці вийшло непарне число. Маємо тепер 11 непарних чисел менше 20. Серед них є рівні (усього непарних чисел 10). Звідси випливає твердження задачі.

Доведіть, що найдеться число, записуване одними одиницями, що й ділиться на 1999.

Відповідь: Розглянемо послідовність чисел 1, 11, 111, … Допустимо, що жодне з них не ділиться на 1999. Оскільки залишки від ділення цих чисел на 1999 можуть рівнятися числам від 1 до 1998, то найдуться серед послідовності два числа, що дають при діленні на 1999 однакові залишки. Тоді їх різниця ділиться на 1999. Відкинувши в цій різниці нулі, тобто розділивши на ступінь 10 — число, взаємно простої з 1999, одержимо число з одних одиниць, що ділиться на 1999.

Математичні парадокси

Фактично наука рухається від парадокса до парадокса. Це віхи, якими позначені її зльоти. Але й падіння теж, оскільки виявлення парадокса сприймається спочатку як настання катастрофи, як розвал мистецьки побудованого будинку. Звернемося у зв’язку із цим до самої строгої науки – математиці. Видалося, тут-те не повинне виникати нічого схожого. Не випадково говорять: імовірно, найбільший парадокс полягає в тому, що у математиці є парадокси. Вони не тільки є, але й представляються найбільш вражаючими, а разом з тим особливо складними й важкими для розуміння.

Перша криза вибухнула ще в стародавності й був викликаний відкриттям факту несумірності величин.

Парадокс полягав у тому, що окремо кожна з несумірних величин і діагональ і сторона квадрата – може бути обмірювана й кількісно точно визначена. Однак виразити їхні довжини через відносини друг до друга за допомогою чисел, що були тоді, не вдавалося. Пояснимо це за допомогою такої операції. Беремо сторону квадрата й станемо відкладати її на діагоналі. Ми виявимо, що сторона не укладається на ній ціле число раз. Обов’язково буде остача. Але ж можна спробувати укласти остачу, якщо він уміститься ціле число раз, загальний захід знайдений. На жаль! І остача не вміщається в ціле число дій. Знову виходить остача, яка поводиться точно так само, як його більші попередники, і т.д. Це, що не піддається виміру відношення діагоналі й сторони квадрата було представлено вираженням V2 (корінь квадратний). Воно має наступне походження. Якщо квадрат розрізати по діагоналі, одержимо два прямокутні рівнобедрені трикутники, де лінія колишньої діагоналі буде гіпотенузою, а сторони квадрата – катетами. Згідно зі знаменитою теоремою Піфагора квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів, точніше, площа квадрата, побудованого на гіпотенузі, дорівнює сумі площ квадратів, побудованих на катетах. Звідси й величина відношення гіпотенузи до катета (або діагоналі до сторони квадрата), рівна V2 (корінь квадратний). Пізніше знайшли, що також непорівнянні відносини довжини окружності до діаметра (воно виражається числом пі), площі кругу й квадрата, побудованого на радіусі, і інші величини. Криза була переборена введенням нових чисел, які не є ні цілими, ні дробовими. Вони можуть бути представлені у вигляді нескінченних неперіодичних дробів. Приміром, корінь із 2 рівний 1,41.., π= 3,14… і т.д. Людям, що знали тільки раціональні числа, знову введені видалися безглуздими, протиприродними. Це відбилося й у їхній назві:“ірраціональні”, що значить “безглузді”, що лежать по ту сторону розумного.

У цього року ми збираємося випробувати чотири незвичайні дати:

1.1.11; 1.11.11; 11.1.11; 11.11.11 і це ще не всі…

Беремо останні дві цифри року, у якому ви народилися, тепер додайте ваш вік цього року, і результат буде 111 для в с е х!!! Наприклад, Гарри народився в 1957 році, цього року йому виконується 54 роки: Отже 57 +54= 111 . Ольга народилася в 1974 році й цього року їй здійсниться 37 років: 74+37=111 Як Вам це подобається? Відповідно китайському фен-шуй — це рік грошей. Цього року є знаменний місяць жовтень. Він буде мати 5 неділь, 5 понеділків і 5 субот. Таке відбувається один раз 823 року. Саме ці роки називають «грошовими мішками».